一

希尔柏脱和阿克曼在《数理逻辑基础》中认为，联合演算的最重要的问题，是找出一个形式的审定法，以此决定哪一个公式是表示永真的命题联系，即把其中出现的谓词记号或类记号给以任意的意义后，它均为真的，并且对于与类演算有关的所谓客体区域，假定其中至少含有一个元素。他们提出，要解决这一问题，首先得把每一公式都经过等价变形而变成一定的范式。这时，每个公式都由一些用两根竖线限起来的命题借助于命题联结词构成。由这一命题所组成的复合命题可展开而得命题演算中的合取范式。要使得这个合取范式对于一切谓词均表示一个真命题，必要而充分的是，每个合取项都是真命题。这个问题可以归结为：一个形如┐｜B1｜∨┐｜B2｜∨…∨┐｜Bm｜∨｜C1｜∨｜C2｜∨…∨｜Cn｜的析取式在什么情形下永真？回答是，这样的析取式永真，当且仅当在命题｜┐B1∨…∨┐Bm∨C1｜，…，｜┐B1∨…∨┐Bm∨…∨Cn｜中至少有一个是永真的（m=0或n=0情形也包括在内）。至于后面这些命题在什么时候永真，其判定方法是：在两根竖线之内作出合取范式。

格·克劳斯把上述判定一联合演算公式是否永真式的方法称为“判定标准”[1]（第267页）。克劳斯将这个标准用来论证传统推论式并排除不正确的推理式。应用于直接推理，克劳斯举过的例子有：

（1）SEP®PES。用符号表示为｜┐S∨┐P｜®｜┐P∨┐S｜。由于析取的交换性，可得出｜┐S∨┐P｜®｜┐S∨┐P｜或┐｜┐S∨┐P｜∨｜┐S∨┐P｜。这是具有X®X或┐X∨X形式的永真命题联系。

（2）SAP®SIP。用符号表示为｜┐S∨P｜®┐｜┐S∨┐P｜。按标准，这看来永真的推理式似乎不适用，因为继续交换的结果得不出永真联系。原因在于这种推理并不是对任何一个S类都是正确的。如果S是零类而P不是零类，它就不正确。所以，必须添加一个前提，即断定S不是零类，亦即┐｜┐S｜。这就得到推理式┐｜┐S｜∧｜┐S∨P｜®┐｜┐S∨┐P｜。化为标准式：┐｜┐S∨P｜∨┐｜┐S∨┐P｜∨｜┐S｜，即┐(┐S∨P)∨┐(┐S∨┐P)∨┐S。按标准，这个表达式的前面两项，相当于P1 和P2，最后一项相当于S1，其他的Pi和Si都没有。在合取范式的｜┐P1∨…∨┐Pn∨Si｜（i=1，2，3，…，n）这些命题中，至少要有一个是永真的，这里，这种命题只有一个，它具有形式｜┐P1∨┐P2∨Si｜。因而，必须证明┐P1∨┐P2∨Si是永真命题联系。把符号Pi和Si的具体内容带入表达式就意味着下述命题联系是永真的：(S∧┐P)∨(S∧P) ∨┐S。由此得到(S∨S∨┐S) ∧(S∨P∨┐S) ∧(┐P∨S∨┐S) ∧(┐P∨P∨S)。这是一个永真命题。由此证明添加前提后的推理式是永真的。

克劳斯指出，如果把联合演算的这个标准用于传统三段论学说，则19个有效式中有15个是可以证明的。但另外四个推理式，即第三格和第四格两格中的AAI式EAO式，不再是有效的。这个差异是由于传统逻辑对全称肯定命题（“所有S是P”）的解释与我们对公式｜┐X∨Y｜的解释并不完全一致。依传统逻辑，必须有客体使S成立时，命题“所有S是P”才正确，而现代逻辑由于顾及逻辑在数学上的应用，已不再把传统的解释看作是基本的，所以要在联合演算中把这四个缺少的推理式推出，必须如在直接推理中所做的那样，把传统逻辑中暗中作出的看来不自明的那个假说明白地写出，作为补充前提添加上去。