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哥德巴赫猜想为何迷人 数学是真实的吗
2019年10月10日 09:45 来源:光明日报 作者: 字号

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  作者:凯尔西·休斯顿·爱德华兹(Kelsey Houston-Edwards)翻译 付国杨 龚华杰

  【环球科技】

  数学规律到底是一种客观实在,还是数学家发明出来的一种游戏?这是一个很难回答的问题。数学家对他们研究的对象往往持有两种互不相容的观点。

  例如,素数之间存在哥德巴赫猜想所揭示的关系,数学家们还在不断地发现这种关系。但是,这一猜想(数学对象)是不是独立于人类存在的呢?

  如果数学对象是真实的客体,那为什么不能被触摸,不能与它们互动?这些问题常常导致数学家做出这种假设:事实上,数学对象的世界是虚构的。

  数学概念的游戏

  当我告诉别人我是一名数学家时,最让人感到奇怪的反应之一就是:“我真的很喜欢数学课,因为这里的一切要么是对的要么是错的,不存在含糊不清或者不确定性。”对此,我总是支支吾吾地回应。事实上,并不是每个人都喜欢数学这门学科,而我也不想打击人们对数学的积极性。其实,数学也充满了不确定性,只不过数学自身很好地隐藏住了这种不确定性。

  我当然理解那种认为数学不存在不确定性的观点。比如说,如果老师问你,7是否为一个素数,那答案肯定是“是”。因为根据定义,素数是一个大于1且只能被自身和1整除的整数,2、3、5、7、11、13等都是素数,所以7是素数是非常确定的。

  在过去几千年中,在全世界的任何地方、任何时候、任何数学老师都得承认,“7是素数”这个说法是正确的,而不会给你的回答打叉。然而,很少有其他学科可以像数学这样获得如此令人难以置信的共识。但是,如果你问100位数学家这些数学命题的本质可以用什么来解释,你却可能得到100个不同的答案。数字7可能真的只是作为一个抽象的数学对象而存在,而素数性质是该对象的一个特征。又或者,素数这个概念本身可能是一个数学家精心设计的游戏。换句话说,数学家们能够一致同意一个命题是正确还是错误的,但他们不能就这个命题的本质达成一致意见。

  在一定程度上,这些争议是一个简单的哲学问题:数学到底是由人类发现的客观规律,还是依赖于主观愿望的发明?也许7是一个独立于我们的真实客体,但它的本质是什么却是数学家目前还在探索中的事物。或许它是人们想象中的虚构之物,其定义和属性是灵活可变的。事实上,数学研究的这种行为激发了一种与哲学上的二元论相似的观点,在该观点中,数学是人类的发明,也是人类的发现。

  这一切在我看来有点像即兴表演的戏剧。数学家构造了一个由少数字符或客体构成的数学背景舞台,以及一些互相作用的规则,然后看这些数学对象在这种背景下如何发展演变。结果是这些字符演员们完全独立于数学家的意图,迅速发展出令人惊讶的特性和关系。然而,无论谁来导演这场剧,结局总是一样的。正是这种结局的必然性赋予了数学学科强大的凝聚力。关于数学对象的本质和数学知识获取的难题还隐藏着,没被发现。

  真理与证明

  我们如何判断数学命题是否正确?跟自然科学家通常通过从观测自然现象来推断自然界的基本原理不同,数学家是从数学对象的规则开始,严格地推导出结论。这种演绎过程被称为证明。这个过程通常是从比较简单的前提出发,推导出复杂的结论。初看起来,数学证明过程似乎是数学家之间取得共识的关键因素。

  但证明仅赋予了数学基于某些条件才成立的真理,也就是说结论的真实性取决于前提假设的真实性。有一个普遍观点认为,数学家之间的共识是由基于证明的论证结构产生的。证明基于某些核心假设,其他的结论都依赖于这些假设。这就提出了一个问题:这些核心假设和想法从何而来?

  其实,数学最重要的一点,通常是有用性。例如,我们需要数字,以便我们可以计算牛的头数,测量田地的面积。有时,最初的假设是具有审美趣味的。例如,我们可以发明一种新的算术系统,在这个系统中,一个负数乘以一个负数就是一个负数。但是,在这个系统中,那些直观和理想的数轴属性将会消失。数学家对基本对象(例如负数)及其性质(例如将它们相乘的结果)的判断需要与一个更大的数学框架自洽。因此,在证明一个新定理之前,数学家需要观看这出戏剧的发展。只有这样,数学家才能知道要证明什么:什么才是真正不变且必然的结论。

  因此,数学的发展有三个阶段:发明、发现和证明。

  数学中的角色几乎总是由非常简单的对象构成。例如,圆被定义为与中心点等距的所有点的集合。因此,圆的定义依赖于一个点的定义(这是一种非常简单的对象类型)以及两个点之间的距离。类似地,重复加法的过程就是乘法;一个数重复自己乘自己的乘法就是乘方。因此,乘方的属性继承了乘法的属性。反过来,我们也可以通过研究被定义得更简单的对象来了解更复杂的数学对象。这导致一些数学家和哲学家将数学设想为倒金字塔,其中许多复杂的对象和想法都是从位于狭窄塔底的简单概念中推导出来的。

  在19世纪末20世纪初,一群数学家和哲学家开始思考,到底是什么托起了这个沉重的数学倒金字塔。他们极度担心数学没有基础——没有任何东西支持1+1=2这样的数学结论的真实性。

  一些数学家希望通过一个相对简单的公理集合,从中可以得出所有数学真理。然而,美国数学家科特·哥德尔(Kurt Godel)在20世纪30年代的工作经常被用来证明这种公理化系统是不可能的。首先,哥德尔表明,任何合理的公理系统都是不完备的,这个系统所存在的数学表达既不能被证明,也不能被反驳。哥德尔关于数学不完备性的定理给了数学一个毁灭性的打击。本来大家觉得数学公理的基本系统应该是一致的,没有既可以被证明又可以被反驳的表述。更重要的是,以前的数学家觉得,数学系统应该能够证明它自己的一致性。但哥德尔定理指出这是不可能的。

  寻找数学基础的探索过程确实导致了一个基本公理系统的发现,这个系统被称为泽梅洛-弗雷蒙(Zermelo-Fraenkel)集合论,人们可以从中得到最有趣的数学。基于集合论,不但数学变得非常简单而清晰,大部分的数学知识也有了稳固的基础。

  在整个20世纪,数学家争论着是否应该扩展泽梅洛-弗雷蒙集合论,即所谓的选择公理:如果你有无数个包含对象的集合,那么你可以从每个集合中选择一个对象来形成一个新的集合。比如有一排桶,每个桶中有一组球,还有一个空桶。从排成一排的每个桶中,你可以选择一个球并将其放入空桶中。选择公理允许你使用无数排的桶进行操作。这种方法不仅具有直观的吸引力,可以用来证明一些有用的数学表述,还暗示了一些奇怪的东西,比如Banach-Tarski悖论,它表明你可以将一个实心球分成几个部分,并将这些部分重新组装成两个新的实心球,每个球的大小与原来的球相等。换句话说,你可以获得两个球。选择公理蕴含了许多重要的表述,但也带来了额外的问题,包括了一些奇怪的不良表述。但是如果没有选择公理,数学似乎缺少了一些关键的本质性的内容。

  大部分现代数学使用着一套随时间推移而逐渐形成的标准定义和惯例。例如,数学家曾经将1视为素数,但现在不是了。然而,他们仍然在争论0是否应该被理解为自然数(有时称为计数数字,自然数被定义为0、1、2、3……或1、2、3……这取决于你问谁)。哪些字符或发明能成为数学经典的一部分,通常取决于结果的有趣程度,而这种观察可能需要数年时间。从这个意义上讲,数学知识是累积的。

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