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　　[摘要]数学单位概念是儿童认知发展研究的重要课题。国内外有关儿童早期数学单位概念的研究主要涉及三个方面：数学单位概念的内涵；儿童早期对数学单位的重复性、单位大小与数量间的反函数关系以及单位选择合适性的理解；单位概念的发展与其他数学能力发展的关系。这些方面的研究既取得了诸多成就，也存在一些不足，今后仍需对数学单位概念的内涵，多个情境中儿童数学单位概念的理解，儿童数学单位概念的发展与其他数学能力发展的关系及意义加强研究。

　　[关键词]儿童早期；数学单位概念；非标准测量能力；分数学习

　　单位概念是数学的逻辑起点，是儿童数学认知的基础，也是儿童进行数学思维的核心。数学单位概念的形成和发展在儿童早期发展中占有重要的地位，因此，儿童数学单位概念的发展一直是心理学中认知发展研究的一项重要内容。单位概念作为数学最基本的概念之一，自皮亚杰等人对概念的守恒性进行研究以来，便成为儿童认知发展研究的重要课题。

　　本文将根据现有国内外的相关研究，从数学单位概念的内涵，儿童对单位特征的理解以及儿童单位概念的发展与其他数学能力的关系等方面对有关儿童早期数学单位概念发展的研究进行梳理与分析，目的在于总结已有研究成果，并找出以往研究中尚未解决的问题，从而为后续研究提供方向和路径。

　　一、数学单位概念的内涵

　　从数学发展的历史来看，单位曾被定义为具有可以被看成是“1”的特性的事物，因此欧几里德认为数字就是“许多单位”。随着数学的发展，现今可作为数学单位的已不仅是平常所认为的单独物体或个体的概念，单位也可能是包含两个或更多个体的物体，比如一副眼镜、一双鞋子等。

　　以往关于儿童早期数学单位概念发展的研究，由于研究问题的角度、方法不同，对单位概念至今还没有形成一种确切、严谨，且被一致接受的科学内涵。克雷恩指出，单位可以分为数量单位(a unitof quantity)和测量单位(a unit 0fmeasure)两种。…数量单位以数数和整数计算为基础，测量单位以测量和有理数计算为基础，两者在根本上是不同的，正如数数和测量是两种完全不同的活动一样。索菲安认为单位概念包括两个最核心的方面，一为单位的基本概念，另一为单位的合成概念。基本概念是指儿童会运用合适的数量单位(unit ofquantification)，并知道运算的结果，包括长度、面积、体积、质量、数等方面的单位；合成概念是指一个单位既可以合并成为高阶单位(higher-order)，也可以拆分为低阶单位(10wer-order)。

　　根据已有研究可以得出，儿童早期发展的数学单位概念的内涵主要包括两个层面：一是计数的单位，如以“10”为计数单位的十进制计数法是儿童理解数字、学习数数的基础；…一是测量用的单位，儿童早期主要发展的是非标准测量单位的概念，如由小棍、纸条等自然物形成的有关测量的关键概念。

　　二、儿童早期对数学单位概念的理解

　　对儿童数学单位概念的研究最早m现在儿童测量概念的研究中。皮亚杰等人通过广泛的研究认为测量单位的守恒是年幼儿童理解测量时必须掌握的认知能力之一。在皮亚杰之后，两位前苏联研究者加尔佩林(Gal，perin)和乔治耶夫(Georgiev)对儿童的测量概念及测量能力进行了深入的探讨，并关注单位的作用，进而推动了对儿童数学单位概念发展的研究。

　　(一)单位的重复性

　　单位的重复性主要是指对通过单位的重复以测得物体长度或面积的理解，该概念以传递推理为基础，是儿童学习长度测量所必备的概念及能力。在测量时，儿童需要在心理上或实际操作中把被测物体分成相等的单位，然后通过重复“摆放”该单位，根据单位重复的数量总和判断被测物体的总长度或总面积。正确的单位重复，要求在重复单位时单位之间既不留空隙也没有重叠。

　　儿童早期测量物体长度或面积时使用的是非标准的测量单位，如积木、纸夹等。儿童最初总是在单位之间留有空隙，甚至把相邻的两个单位重叠在一起。这可能与儿童在4岁前难以形成非标准单位有关，151即使是小学阶段的儿童，对单位的重复的理解也不是一件容易的事。

　　克莱门兹等人通过研究认为，单位重复性的概念是儿童理解二维面积测量的重要基础。儿童可以通过单位的重复逐渐形成阵列结构(structure an array)的概念。如果儿童能把用于测量长方形面积的、不断重复的非标准单位整合成行或列，且能一行一行地或一列一列地数对单位，那么就有可能具备阵列结构的概念。这时儿童才有能力理解长方形尺寸是由行与列中的非标准测量单位数所决定的以及可以通过行与列计算长方形面积的规则。

　　研究还发现，儿童早期数数也需要单位重复的概念。儿童到了学前后期，开始采用“2”“5”等数数单位，即两个两个数和五个五个数的方式。这种运用非单个数的数数单位进行数数的方式，对儿童数学单位概念的发展具有十分重要的意义，能够使儿童认识到单位大小与数量间的反函数关系等。不过有关儿童早期数数单位概念发展的研究目前并不多见。

　　(二)单位大小与数量间的反函数关系

　　单位的大小及其数量间的反函数关系作为儿童理解数学单位概念的重点和难点，一直都是儿童单位概念发展相关研究的主要内容。已有研究主要是在量的判断和测量等情境中了解儿童对两者关系的理解。

　　很多研究表明，年幼儿童在比较和判断物体量的时候，往往会严重依赖单位数量，而忽略单位的大小。例如，把液体或粘土分成相等的若干份，由于液体或粘土的份数变多了，儿童会认为液体或粘土的总量变多，他们难以认识到，事实上每一份液体或粘土的量都变小的事实。又如，在对前苏联6.5～7岁多儿童觉知单位大小变化的研究中，即便研究者用大小不同的两种匙子舀出总量相等的米，由于小匙子舀出的米堆数更多，大多数儿童会认为小匙子舀出的米更多。在研究儿童比较总量相等的集合时也发现，儿童常常认为包含较小单位的集合，其总量更大，原因是该集合的单位数量更多。这种错误即使在小学低年级儿童中也常常出现。

　　研究儿童在测量任务中对单位大小和数量间关系的理解时，研究者也得到了同样的结论。在一项针对小学一、二年级儿童进行的有关测量概念的测查中，研究者发现，只有一半儿童能够理解单位大小的变化会影响到测量结果。近年来，我国研究者也对儿童理解单位大小与数量的关系进行了研究，并得出了相类似的结果。

　　研究者还在其他任务情境中进行了研究，例如平分任务。儿童在平分任务中也偏重考虑单位物体的个数，而忽略单位物体的大小。多数儿童认为，即使平分后每一份物体的量不相等，但只要每一份所得物体的个数相等就可以了。柯利亚(correa)进一步发现，5岁前的儿童把一定量的物体平分为几份后，无论具体的份数是多少，他们都判断平分后每一份的物体量是一样多的。这是由于绝大多数学前儿童可能受到自身感知局限性的影响，对单位大小与数量间的反函数关系存在错误理解。正如皮亚杰所说的那样，处于前运算阶段的儿童只能关注到事物的一个维度，不能同时考虑单位大小

　　和单位数量两个维度，难以对这两个维度的信息进行整合，这可能是导致儿童完成各种情境任务时出现错误的内在原因。

　　但也有一些研究表明，学前儿童已经有能力发现单位大小和数量间的反函数关系，最小的年龄可能出现在3～4岁左右。如让儿童通过实际操作，比较把一个量按照不同方法分成若干相等部分后的各种结果，他们就能很快地了解各个小部分的数量与其大小之间的反函数关系。因此研究者认为，以往研究中年幼儿童大多关注单位数量的事实并不能说明儿童难以正确理解单位的意义，这一点还有待进一步的研究。

　　(三)单位选择的合适性

　　所谓单位选择的合适性，是指根据具体的情境，选择合适的单位解决问题。例如，数数情境中问题不同，合适的数数单位也会不同，可以是单个物体，也可以是多个物体，而在测量情境下，一次测量只能选择一种合适的单位，即在测量时只能使用大小相同的单位。

　　已有研究发现，虽然4岁儿童可能已经具备关于单位意义的概念，但难以根据问题情境选择合适的单位。在数数情境中，儿童在5岁前大多会把一个分成两半的鸡蛋看成是两个鸡蛋。因为年幼儿童普遍存在“单个物体的偏见”，即更倾向于以单个物体(如一片鸡蛋壳)为单位，而难以从数单个物体迁移到数区别于单个物体的由多个物体形成的单位。研究者还发现，只有当儿童能够把许多离散物体看成是一个单位物体时，他们对量的推理能力才可能有重大的进步。这个发展转折期可能出现在4～5岁。

　　在测量情境中，儿童难以理解在一次测量时不能同时混用两种不同大小的单位。一项对72名中国儿童进行的研究显示，绝大多数儿童在7岁前不能真正理解使用相同测量单位的必要性。我国研究者史亚娟等认为，使用大小相等的单位是准确测量并准确报告测量值以及对不同测量值进行正确比较的前提和基础。儿童理解测量时必须使用合适单位的前提正是儿童对测量单位大小与数量之间反函数关系的理解。在测量情境中的其他研究还表明，儿童测量面积时往往会选择外形看起来和被测对象较相似的非标准单位，如选择砖块覆盖长方形。

　　三、儿童早期单位概念的发展与其他数学能力发展的关系

　　单位概念是数学基本概念，儿童早期对单位概念的理解及运用对儿童数概念及数学能力的发展具有十分重要的作用。加尔佩林和乔治耶夫曾提出，“掌握单位的初步概念……是儿童形成基础算术概念的最为重要的一步，所有基本的算术概念都是以单位概念为基础的”。很多研究者持相同的观点，如拉蒙(Lamen)指出，单位以及不同类型单位之间的关系与数学学习中的赋值、乘法、分数等都有联系。因此，如果儿童不能掌握数学单位的基本概念及特征，他们在后面的数学学习中就有可能遇到困难。

　　(一)单位概念与分数学习

　　单位概念的发展在儿童学习分数的过程中具有十分重要的意义。如果儿童在理解单位概念时有困难，那么在建构分数意义时就会出现问题。例如儿童在认识分数时常常认为，分数的分母增大，其值也变大，而不是变小。这与儿童难以理解单位大小与数量间的反函数关系有关。索菲安(Sophian)认为，儿童是通过数数的方式来确定单位的数量的，因此儿童的数数能力与儿童对单位大小与数量间关系的认识显著相关。由于儿童知道数序在后的数比数序在前的数大，而当单位数量增多时，实际上分数反而变小了，如3比2大，但1／3比1／2小，因此儿童对单位大小和数量间关系的错误认识会影响儿童正确地认识分数。另外，儿童认识等值分数概念也需要以单位概念为基础。例如儿童要理解1／4=4／16，首先需要找到合适的新单位(1／16)，并将这些小单位重新组合(4个1／16就是1／4。即4／16)，才可解决这类问题，因此单位形成能力是儿童解决等值分数问题的关键。

　　另有研究者提出，反复的测量操作可以促成儿童对单位概念的理解，特别是用大小不同的单位进行测量，可以为分数的学习提供经验。如果儿童用一种强调单位概念理解的方式学习整数，那么他们在解决涉及分数的问题时可能就不会出现困难了。

　　(二)单位概念与测量能力

　　单位概念是儿童学习测量时需要掌握的重要概念。皮亚杰等人关于儿童测量的众多研究指出，5～7岁的儿童在学习测量特别是运用测量单位进行叠加性测量的时候会有困难，只有当儿童能够理解和掌握长度守恒之后才可学会测量。也就是说，皮亚杰和继承皮亚杰观点的学者们都认为，儿童大约在7～8岁期间才能对物体进行有效的测量，并掌握测量单位的概念。单位概念的理解水平会随着儿童年龄的增长以及一般认知能力的发展逐渐提高。

　　但是近年来，国内外越来越多的研究者得出了与皮亚杰不同的结果，他们发现守恒的获得并不是测量能力发展的起点。于是，研究者们突破“守恒概念”的研究框架，日益重视解释儿童在获得守恒概念之前测量单位的发展特点。例如柯普兰(Copeland)发现儿童在6岁半的时候开始理解测量单位的概念，但那时还不能完全达到守恒；索菲安(Sophian)和米勒(Miller)都认为，结合具体的情境，采用适当且明确的测量过程，即使是只有3岁的儿童也能够获得与测量相关的单位概念的经验。

　　作为儿童早期掌握的测量能力之一，非标准测量是研究者考察学前儿童数学单位概念发展的重要内容。研究表明，儿童早期的非标准测量能力在3～4岁时得到快速提高，到4岁时已经能够成功地运用非标准测量单位，并运用推理的传递性比较两个物体的长度。但是，儿童运用非标准单位测量的能力有限，在具体测量时如果提供了视觉信息，儿童常常更倾向于选择运用目测的方法。在儿童运用非标准单位测量二维面积的操作中，由于年幼儿童还没有掌握一个固定且具体的单位概念，他们在运用单位通过迭加加工的方式进行面积量化时，可能会出现失败；但随着年龄增长，有更多的儿童能够形成并应用非标准测量单位，并用测量单位的数量表示测量的结果。

　　目前关于单位概念与测量能力的关系，大多数研究者认为只有儿童具备单位概念，才能运用非标准测量单位进行非标准测量；并且，儿童这种早期非标准测量的能力能够为儿童学会运用标准单位测量物体做好准备。但是，克莱门兹(clements)对于非标准测量单位在儿童后期测量能力发展中的作用持不同的意见。他认为，早期强调各种非标准测量单位，可能会干扰儿童对一些基本测量概念的理解。

　　四、以往研究中存在的问题和今后的研究方向

　　回顾以往关于儿童早期数学单位概念发展的研究，对单位大小与数量间反函数关系的理解是研究的主要内容。已有研究均表明，儿童早期会忽略单位的大小，严重依赖单位数量。对于儿童理解这一单位特征的年龄，以往研究得出的结果很不一致。大多数研究认为儿童在学前期是难以掌握这一概念的，甚至在入学后的最初几年，仍有一部分儿童难以理解。但是索菲安等人的研究却推翻了这一结论。她们通过在实验过程中进行短暂的干预，让3～4岁的儿童对材料进行操作后，再对儿童的理解情况进行考察，得出的结果证明，即使是3～4岁的儿童通过操作也能够很快了解单位大小与数量间

　　的反函数关系。这个研究存在的问题是儿童正确回答问题的原因究竟是儿童对操作结果的比较和记忆，还是儿童已经真正理解了这一概念。如果让这些儿童在不同的情境下回答这类问题，他们还能正确理解吗?另外，以往对此问题的研究结果存在如此大的差异，根本的原因是现有研究本身的不足，未能充分重视儿童在不同情境中对单位大小与数量间反函数关系的理解可能存在的年龄差异。

　　单位选择的合适性在以往研究中，主要包括在数数情境中儿童能否根据问题要求选择合适的数数单位和在测量情境中儿童是否理解测量时使用相等大小单位的必要性两个内容，一般通过口头报告的形式予以考察。这样的研究方法主要存在的不足之处在于，在数数情境中要求儿童首先理解问题涉及的各种数数单位，如一个物体或一类物体，如果年幼儿童难以理解这些单位，那么儿童错误地数数可能并非由于儿童尚未具备选择合适单位的能力造成的。另外，在测量情境中的研究也存在口头报告的缺陷。儿童虽然能够准确地选择相等大小的单位进行测量，但儿童却难以清楚地说明不能同时使用不同大小单位进行测量的理由，这既可能是由于儿童还不理解单位选择的合适性，也可能是受到儿童自身语言表达能力的局限所致。

　　以往对儿童早期数学单位概念的研究，往往只涉及单个的单位特征，对各个单位子概念之间关系的研究非常少见。虽然有些研究对其进行了讨论，如有研究者指出，儿童对测量单位大小与数量间反函数关系的理解，是儿童理解测量情境中必须使用相等大小单位的前提，但是目前在这方面的实证研究还很缺乏。另外，以往研究对早期数学单位概念的内涵也没有一个一致的看法，有的把数学单位分为数量单位和测量单位两种，有的则把这两者归为一个概念。由于以往研究对数学单位的变量较少进行区分，因此对数学单位的核心概念及其对儿童理解数学单位的作用也尚不明确。

　　除此之外，以往研究已经在不同的数学情境(如测量情境、数数情境、平分情境)中对儿童早期数学单位概念的发展进行了研究，且大多只侧重单一情境中儿童单位概念的发展，很少对多个情境中儿童理解数学单位概念进行考察和比较，因此对儿童单位概念的理解是否会受到不同情境的影响而有不同的表现，以及在不同情境中儿童单位概念水平的相互关系还不得而知，从而难以全面系统地了解儿童早期数学单位概念的发展规律。

　　综上所述，今后的研究首先应当明确早期数学单位概念的内涵，对早期数学单位概念的特征及核心概念进行研究，并了解这些核心概念之间的关系。其次，在多个情境中对儿童数学单位概念进行综合性的考察，以全面了解儿童早期数学单位概念的发展特征和规律。再者，儿童数学单位概念的发展与其他数学学习能力发展的关系及意义也是今后研究应加强的内容。最后，以往研究中尚未解决的问题，如儿童理解单位大小与数量间反函数关系的年龄特征，考察儿童理解单位选择合适性的科学方法等，都是今后值得进一步研究的问题。

责任编辑：紫一