作者简介：吴颖康　华东师范大学数学系，200062

　　自1990年代中期以来，由于新加坡中小学生在第三次国际数学和科学研究(TIMSS)中的杰出表现，新加坡的数学教育引起了世界关注。美国中西部的许多中小学校纷纷引进新加坡的数学教材，以期利用新加坡的数学模式来提高美国学生的数学成绩。这从一个侧面反映了新加坡数学课程的独特之处。本文试图从新加坡数学课程的历史演变、最新的数学教学大纲和现行的数学教材等方面对新加坡的中小学数学课程做一个较为全面的介绍，并提出一些相关的认识。

　　一、新加坡数学课程的历史演变

　　新加坡是一个多民族的城市国家，其中华人约占77%，马来人约占14%，印度人约占8%，其他民族约占1%。在1965年独立以前，新加坡曾经在很长的一段时间里是英国的殖民地。因此，英语是除了华语、马来语和淡米尔语之外的通用语言。于是最初新加坡存在以这四种语言为教学语言的学校制度。华校按照中国的教育体系，实施6-3-3学制（6年小学－3年初中－3年高中），使用自中国引进的教学大纲和教材。在中学阶段，数学实行分科教学，初一教算术，初二教代数，初三教几何，高一教三角和平面几何，高二教高等代数，高三教解析几何。英校遵循英国的教育体系，实施6-5-1学制 （6年小学－5年中学－1年大学预科），使用自英国引进的教材，中学数学的内容是以螺旋上升的方式教授的。相应的，马来学校和淡米尔学校也有自己的一套教育体系。因此，不同学校中的数学课程是各不相同的。这种“各自为政”的状况直到1959年才有改变。在那一年，新加坡首次颁布了适用于新加坡所有学校的数学教学大纲，它同时包括了小学和中学的数学教学。数学不分科，采用螺旋上升的方式编排数学教学内容。

　　由于受到1960年代新数学运动的影响，新加坡于1970年代初期颁布了新的数学教学大纲，其中编入了不少现代数学的内容，例如集合、群域和几何变换。

　　1979年新加坡实施了新教育制度(New Education System)，四大语言的教学体系得到统一，英语成为惟一的教学语言，华语、马来语和淡米尔语作为母语成为所有学生必须学习的第二语言。同时，考虑到学生学习能力的差异并为了更好发挥学生的潜能，学生分流制度被引入。为响应和贯彻新教育制度，新的小学和中学数学教学大纲从1981年开始逐步取代了原来的大纲。新的大纲体现了分流的特征。新加坡的学生分流制度随着时代的进步也在不断改革。目前，小学阶段的分流安排在四年级末进行。小学一至四年级被称为基础阶段(Foundation Stage)，小学五至六年级被称为定向阶段(Orientation Stage)。分流前，所有学生学习相同的科目，重点在英语、母语和数学能力的培养。2004年以前学生在分流后进入EM1、EM2和EM3三种源流(Stream)之一。EM1和EM2在英语、数学和科学课程的内容上没有差异，但在母语课程上EM1的要求比EM2高。EM3所有课程的要求比EM1和EM2低不少。在 2004年，EM1和EM2合并，学生可以根据自己的能力自主选择修读高程度的母语。中学阶段的分流是根据小学离校考试(Primary School Leaving Examination, PSLE)的结果进行的。前10%左右的学生学习特别课程(Special)，其次约50%的学生学习快捷课程(Express)，余下学生学习普通学术课程(Normal Academic)或普通工艺课程(Normal Technical)，这即为现在新加坡中学里所设的四种源流课程。修读特别和快捷课程的学生在完成四年中学学习之后参加新加坡—剑桥普通教育证书（普通水准）(General Certificate of Education Ordinary Level)会考；普通课程学生则参加新加坡－剑桥普通教育证书（初级水准）(General Certificate of Education Normal Level)会考，在该会考中成绩好的学生可修读第五年课程并参加新加坡—剑桥普通教育证书（普通水准）会考。就数学而言，普通课程的学生需要五年时间来完成特别和快捷课程学生花费四年就能完成的内容。

　　1990年新加坡教育部再次对数学教学大纲进行修订。1990年的大纲将发展学生数学问题解决能力列为数学课程的基本目标，首次提出了数学课程框架的五边形模型，数学问题解决被定位为该框架的核心。

　　1997年新加坡教育部提出了“思考的学校，学习的国家”(Thinking Schools, Learning Nation)的总目标，具体包括三个方面：思考技能(Thinking Skills)，信息技术(Information Technology)和国民教育(National Education)。针对这些理论，新加坡教育部对1990年大纲进行了修订。新的小学和中学数学教学大纲于2000年颁布，至今仍在实行。2000年大纲沿袭并发展了1990年大纲中数学课程框架的五边形模型，数学问题解决的核心地位得到巩固，但教学内容有大幅度的删减。

　　近几年来，新加坡教育部正在酝酿新的课程改革，试图建立更具灵活性和多样性的教育制度，能为学生提供更多选择，能适应不同学生的兴趣、潜力和发展需要。同时强调全方位的教育，让学生从小掌握重要的生活技能，养成学习及发问并重的习惯，培养独立学习和创造性思维的能力。中学教育之后的大学选修班教育（注：指两年的初级学院(Junior College)和三年的中央学院(Centralised Institution)。）从2006年起已开始实行新课程，提供不同层次的科目供学生自主选择。中小学的数学教学大纲也相应进行了修订。最新的中学数学教学大纲已于2006年9月在新加坡教育部网站上公布，该大纲将于2007年起开始实施。新的小学数学教学大纲暂时还没有对外公布，因此下文只能着重介绍2006年中学数学教学大纲。鉴于一贯以来新加坡中小学数学教学大纲基本理念和课程框架的一致性和传承性，只介绍最新的中学数学教学大纲应该不会对了解新加坡的数学课程发展影响太大。

　　二、2006年中学数学教学大纲

　　网上公布的2006年中学数学教学大纲包含两个部分。第一部分描述中学数学课程的基本理念、数学教育的基本目标和数学课程框架；第二部分介绍四种源流课程的数学教学内容。与1990和2000年大纲只包含中学低年级（中一和中二）不同，2006年大纲还包括了中学高年级（中三和中四）的数学教学，更补充了新加坡－剑桥普通教育证书普通水准和初级水准补充数学(Additional Mathematics)的教学大纲。下面将从基本理念、基本目标、课程框架和不同源流课程数学教学内容的比较这四方面介绍2006年中学数学教学大纲。

　　1.基本理念

　　大纲从两个方面对数学进行了刻画。一方面，数学被看成是发展和提高学生逻辑推理、空间想象、严密分析和抽象思维能力的极好工具，而且学生只有在学习和应用数学的过程中才能发展计算能力、推理能力、思考技能和问题解决能力。大纲进一步说明重视数学教育是培养能应对21世纪挑战的竞争人才的重要保证。另一方面，数学被看成是一门充满趣味的学科，让学生有机会进行创造性的活动，带给学生启迪和愉悦。可见，大纲从适应社会需要、发展自身竞争能力和获得精神满足这两方面对数学进行了诠释，充分体现了“育人为本”的理念。这与我国现阶段数学课程改革的出发点不谋而合。

　　2.基本目标

　　新加坡中小学数学教育的基本目标是使学生能够：

　　①获得日常生活需要的和进一步学习数学和其他相关学科所必需的数学概念和技能；

　　②发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能；

　　③发展数学思维和问题解决能力，并能将这些能力运用于形成和解决问题；

　　④认识和利用不同数学思想之间、数学和其他学科之间的联系；

　　⑤发展对数学的积极态度；

　　⑥在学习和应用数学的过程中有效使用各种数学工具（包括信息技术工具）；

　　⑦制作出源于数学思想的富有想象力和创造力的成果；

　　⑧发展逻辑推理能力、数学表达能力以及合作学习和独立学习能力。

　　其中，第④第⑥和第⑦条基本目标以及第⑧条提及的发展合作学习和独立学习能力是首次写进数学教学大纲。这些目标所蕴含的思想与基本理念中有关数学的两方面刻画是相辅相成的。

　　3.课程框架

　　2006年大纲中数学课程的框架沿用并发展了 2000年大纲中的五边形框架。2006年大纲明确指出该框架（如图1所示）适用于从小学到大学先修班的所有年级，并首次提出它对数学的教、学和评价都具有导向作用。

　　图1　新加坡的数学课程框架

　　数学问题解决仍处于该框架的中心，寓意数学学习的核心是数学问题解决。数学问题解决指在包括非常规的、开放的和现实的等各种问题情境下获得和运用数学概念和技能。数学问题解决能力的发展需要五个相对独立要素的支持：概念、技能、过程、态度和元认知。对这五个要素，大纲做了如下的说明和分析。

　　1.概念：包括数值、代数、几何、统计、概率和分析概念。数学教学要提供丰富的学习经验帮助学生发展对数学概念的深层次理解，弄清不同数学思想的含义，并认识它们之间的联系和应用，能自信地探索和应用数学。

　　2.技能：包括数值计算、代数运算、空间直觉、数据分析、测量、使用数学工具和估计等程序性技能。尽管学生需掌握熟练的数学技能，但应该避免在不理解涉及到的数学原则的情况下过分强调程序性技能。

　　3.过程：指在获得和运用数学知识的过程中涉及到的知识技能（或过程性技能）。它的内涵有三个组成部分：除了以往大纲中提到的思考技能和解题策略之外，还增加了数学推理、交流和联系以及应用和建模。具体解释如下。

　　思考技能指在思考过程中用到的技能，如分类、比较、排序、分析部分与整体、识别模式与关系、归纳、演绎和空间想象。解题策略分为四类：给出数学表示，如画图、构造序列和用方程；给出恰当猜测，如猜想和检验、寻找模式和作假设；经历解题过程，如实际演示、逆向作业和使用前后概念；改变问题，如重新表述问题、简化问题和分部分解题。

　　数学推理指分析数学情境并给出逻辑论证的能力。交流指运用数学语言准确地、简明地、有条理地表达数学思想。联系指认识并建立不同数学思想之间、数学和其他学科之间、数学和日常生活之间的关联。

　　应用和建模在发展学生的数学理解和数学能力上有重要作用。学生能用数学问题解决能力和推理能力来解决各种数学问题和现实问题至关紧要。数学建模指形成和改善用来表示和解决现实问题的数学模型。

　　4.态度：指数学学习的情感方面，如关于数学和数学是否有用的信念、学习数学的兴趣和快乐、对数学美和数学价值的欣赏、用数学时的信心以及解决数学问题的毅力。学生对数学的态度与他们的学习经历有关。

　　5.元认知：指对自身思考过程的认识和控制，尤其在选择和使用解题策略时，它包括对自身思考过程的监控和对学习的自我控制。大纲给出四种发展学生元认知水平的活动：让学生明确一般的问题解决技能、思考技能和解题策略，以及这些技能和策略是如何用来解决问题的；鼓励学生在解决特殊问题时说出所用的策略或方法；给学生提供解题前要计划，解题后要反思的数学问题；让学生互相讨论自己的解题策略和方法。

　　4.不同源流课程教学内容的比较

　　表1按年级列出了四个源流课程的教学内容，其中中三和中四的教学内容是混在一起的，大纲没有明确哪些内容是在中三或中四教。

　　总的来看，2006年大纲有三大内容板块：数与代数、几何与测量和统计与概率。与2000年大纲相比，教学内容上新增了集合语言与符号和矩阵。教学内容的安排仍遵循螺旋渐进的原则，但在具体处理上也略有调整。较为显著的变化是概率从中三中四下调到中二，而三角学从中二上调至中三中四。

　　四种不同源流课程的教学内容有一定差异。特别课程和快捷课程的内容完全一样；普通学术课程的教学内容基本上是前者的一个子集；而普通工艺课程的教学内容总体上是普通学术课程的一个子集。另外，除了有三大内容板块之外，普通工艺课程的大纲还首次包含了一个称为“综合背景”的背景板块。综合背景指需要实际运用数学的现实问题以及与三大内容板块相关的数学问题。大纲指出数学教学应涉及有意义的综合背景从而让学生体会和欣赏数学在日常生活中的重要作用。可见，普通工艺课程的数学教学大纲尤为重视数学应用能力。不同源流课程教学内容的差异展现了新的课程改革所倡导的灵活性和多样性。

　　三、现行的数学教材

　　自实施新教育制度以来，新加坡的小学数学教材一直由课程发展署（注：1996年课程发展署和课程规划署(Curriculum Planning Division,CPD)合并，成立课程规划与发展署(Curriculum Planning and Development Division,CPDD)。）(Curriculum　Development Institute of Singapore,CDIS)负责编写发行。从2000年开始，小学教材的编写发行允许私人出版商承担，不过所有的教材都必须通过教育部的审核才能进入课堂使用。不同于小学教材，中学数学教材基本上一直都是由私人出版商负责编写发行，当然那些教材必须获得教育部的认可。新加坡目前正在进行新的课程改革，随着新的数学教学大纲的颁布和实行，根据新大纲编写的教材将于2007年出台使用，从而取代目前基于2000年大纲编写的教材。事实上，目前许多私人出版商已经完成了新教材的编写，新加坡教育部网站上也已经公布了一批标准使用的中小学数学教材名单。有鉴于此，在这里详细讨论现行的数学教材意义不大。概括地说，除了商业化、市场化的特色以外，新加坡中小学数学教材在内容上有以下特点：形式上活泼生动，表述上贴近学生日常生活，注重学生主动参与，强调数学活动，突出问题解决的教学，恰当运用信息技术，体现国民教育等等。想进一步了解根据2000年大纲编写的中小学数学教材的读者可以看文[1]，文[2]。

　　四、启示

　　回顾新加坡的数学课程，给我们以下几点启示。

　　第一，新加坡的分流制度有利于所有学生在数学上都得到发展。就中学数学课程而言，特别和快捷课程的学生学习更多和更深的数学，而普通学术和普通工艺的学生则学习更基础更实用的数学。这既能提高教师的教学效率，也能维持更多学生学习数学的兴趣和信心。我国是一个幅员广阔的国家，各地区之间的经济发展水平很不均衡，学生的数学水平和学习能力也有差异。新加坡数学课程的多样性和灵活性对如何全面提高我国中小学生的数学能力有一定的启发。

　　第二，新加坡的数学课程尤其强调数学应用能力。这在2006年中学数学教学大纲的基本理念、基本目标、课程框架和教学内容上均有体现。对于普通工艺课程的学生，大纲还特别补充了“综合背景”的板块，以培养他们运用数学解决现实问题的能力。正如李秉彝教授所说，数学应该更多地被看成是实验性的而不是理论性的。我国现阶段的数学课程改革也大力倡导发展学生的数学应用意识。新加坡数学课程在这方面的做法和经验能为我国提供参考。

　　第三，新加坡的数学课程一贯重视对学生思考技能和理解策略的培养。1990年以来的教学大纲不仅明确指出思考技能和解题策略的具体内涵，还给出实例加以说明。新加坡现行的许多中小学数学教材还专门对这些思考技能和解题策略进行解说，并设计相应的习题让学生实践。这对如何提高我国学生的数学思考能力有操作层面上的指导意义。范良火和朱雁在文[1]中也提到了这一点。

　　参考文献：

　　[1]　范良火，朱雁.思考的学校，学习的国家——新加坡的数学课程[A].孙晓天.数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003.305-357.

　　[2]　黄翔，童莉.新加坡的新数学教材“New Mathematics Counts”[J].数学通报，2003(11).