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　　越来越多的数学家和哲学家认为，数学是可错的、变化的。数学不再是绝对的真理，而是有用的社会实践。有学者认为，维特根斯坦的数学思想是极端的建构论形式，如达米特就认为，维特根斯坦采用了一种数学的建构论版本。同样，伯内斯（Paul Bernays）也认为，维特根斯坦的数学哲学采用了有限主义和建构论态度。但雷格利（Michael Wrigley）并不认同，他认为维特根斯坦的数学本质上是一个描述性的活动，数学哲学家的目的是理解数学实际上在做什么，并给它一个正确的描述，也即一种数学的柏拉图主义观点。

　　数学领域的柏拉图式实在论者认为，数学对象完全是真实的，独立于我们而存在。比起如苹果这样的日常对象或如电子这样的科学实体而言，数学对象与之并无不同。我们不以任何方式创造它们，只是发现它们。数学不是约定的，而是描述性的。数学不是基于经验证据的知识，而是先验知识。一项数学成果即是发现一个已经存在的、特殊领域的客体，这先于人类知识；算术命题是真实的，因为它与我们日常称之为“数字”的实体相一致；而几何告诉我们理想条件下的实体，即“点”、“线”之间如何相互关联。问题在于：如果数学对象是独立于我们而存在的，外在于时空的，那么我们是怎么知道它们的呢？数学对象是无形的吗？如果无形的对象不存在，数学还有效吗？

　　在数学哲学中，柏拉图主义与各种建构主义相对立。建构主义认为数学实体是我们人类所建构的。康德可以被看成近代数学建构论之父。康德的一个核心学说是，如果一事物独立于我们人类主体的话，那么我们不能经验该事物，它就并不是独立的客观实在。罗素评价认为，康德理所当然地认为数学是综合的。从那之后，似乎逻辑与其他真理一样也是综合的。如果说康德是近代数学建构论之父，那么布劳威尔可以算作现代数学建构论之父了，当前许多讨论都涉及他的数学直觉主义。而维特根斯坦的数学观与布劳威尔的数学直觉主义有许多相似之处。

　　在维特根斯坦看来，数学不是对柏拉图理念世界的描述，而是人类生活形式及语言规则的约定。他强调语言使用的社会性，因而一些哲学家认为，把他的数学思想诠释成数学哲学的社会建构主义更合适。柏拉图主义者自认为是世界的观察者，并记录下所观察的事物。但维特根斯坦则认为数学家是发明家，而不是发现者。

　　建构主义者认为，所有强加给我们的必然性不是由实在性所决定的，而是由我们的语言强加给我们的，许多真理取决于语言习惯。如“所有单身汉都是未婚男性”取决于所涉及的字词的意义，而“张三是单身汉”则依赖于非语言事实，即他是否已经领取了结婚证书或举行过结婚仪式。数学和逻辑真理取决于语言的约定。如“5+7＝12”的真理性取决于我们关于数字“5”、“7”、“12”的约定。在维特根斯坦眼中，数学是特定生活形式的规则体系或语言游戏。数学的可靠性建立在生活形式一致的基础之上。逻辑的强制性要求仅仅是语言约定的直接表达。数学就是集体一致性的约定。对语言的理解被认为是对其使用规则的理解。规则本身是一种柏拉图主义实体吗？用维特根斯坦的话来说，在做出正确的反应之前，必须先理解字词使用的规则，必须在规则的表述与规则本身之间做出区分。

　　维特根斯坦视数学为一种基于语言游戏的、与规则紧密相连的活动。这就是数学哲学中的规则主义。维特根斯坦并不是要否认数学知识的客观性或确定性，而是要重新诠释数学知识依靠语言游戏及生活形式来支撑。“正确”、“错误”是按照规则的要求说出的，“正确”使学生继续向前走，“错误”则阻止学生继续下去。

　　如何认定规则的正确性？克里普克的回答是：人们理解一个表达字词方式的唯一真理条件是，这种表达方式是他语言共同体的其他成员也在使用的，并且他能在特定情形中给出某些特定的语言反应。普特南认为如果一个人与任何语言共同体相隔离，那么他是不能遵守任何规则的，除非我们让他加入共同体。显然，维特根斯坦也是根据共同体的标准来解释遵守规则的标准性。

　　在维特根斯坦看来，语法规则的获得是通过一定范围的应用来实现的。一种语法规则就是一种任意象征符号，规则一旦建立，就不是随意的了，对于什么能做，什么不能做，都做出了相应的规定。规则和应用没有对应性，就没有规则，也不可能去遵守规则，当然也包括计算规则。我们是如何获得数学计算规则的呢？根据维特根斯坦的解释，这在于我们所受的教育以及所接受的技术培训，规则的正确应用是通过培训及生活形式建立起来的。

　　（作者单位：山西大学哲学社会学学院）

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